Geometrische Figuren im Quadratgitter
Mathezirkel-Treffen am 14. Juni 2025
Raum und Uhrzeit: virtuell/online mit der Videokonferenz-Software Zoom (Campus-Lizenz der Uni Paderborn) von 10:00 bis 13:00 Uhr
Leiterin des Workshops: Dr. Kerstin Hesse
Beschreibung: Wir betrachten ein rechtwinkliges Quadratgitter, bei dem alle Punkte des Gitters jeweils den Abstand 1 zu den direkten Nachbarpunkten haben. Die Gitterpunkte sind also (m,n), wobei m, n ganze Zahlen sind. Wie berechnet man den Flächeninhalt A eines Vielecks, dessen Eckpunkte Gitterpunkte sind? Der Satz von Pick besagt, dass dieses mit der Formel A = i + (1/2)*r - 1 geht, wobei i die Anzahl der Gitterpunkte im Innern des Vielecks und r die Anzahl der Gitterpunkte auf dem Rand des Vielecks ist! Man muss zur Flächenberechnung also bloß Gitterpunkte zählen können. – Wieso gilt dieser überraschende Satz, und wie beweist man ihn? Wir werden uns dem Beweis schrittweise nähern, indem wir den Satz von Pick zunächst für Rechtecke und rechtwinklige achsenparallele Dreiecke, jeweils mit Eckpunkten in Gitterpunkten, beweisen. Eine Erweiterung auf den Fall beliebiger Dreiecke mit Eckpunkten in Gitterpunkten und die Additivität/Subtraktivität der Flächenberechnung liefert darauf aufbauend den Beweis für beliebige Vielecke mit Eckpunkten in Gitterpunkten.
